Григорий Моргачев

Вот так должно работать

Тут изменил url:

jQuery( function( $ ){
  $( '#filter' ).submit(function(){
    var filter = $(this);
    $.ajax({
      url : ajax_script.ajaxurl, // обработчик
      data : filter.serialize(), // данные
      type : 'POST', // тип запроса
      beforeSend : function( xhr ){
        filter.find( 'button' ).text( 'Загружаю...' ); // изменяем текст кнопки
      },
      success : function( data ){
        filter.find( 'button' ).text( 'Применить фильтр' ); // возвращаеи текст кнопки
        $( '#response' ).html(data);
      }
    });
    return false;
  });
});

А в functions.php - wp_localize_script

add_action( 'wp_enqueue_scripts', 'truemisha_jquery_scripts' );
 
function truemisha_jquery_scripts() {

  wp_register_script( 'filter', get_stylesheet_directory_uri() . '/js/filter.js', array( 'jquery' ), time(), true );
  wp_enqueue_script( 'filter' );
  wp_localize_script(
    'function',
    'ajax_script',
    array( 'ajaxurl' => admin_url( 'admin-ajax.php' ) ) );
}