@rustler2000: у docker-compose exec есть параметр -u в котором можно указать пользователя или его uid

@GregIv: Попробовал, получил такую ошибки:
unable to find user SOME_USER: no matching entries in passwd file

@rustler2000: Или при создание контейнера надо делать пользователя с правильным uid/gid

Итого, решение:
1) Копируем строку с вашим пользователем из
/etc/passwd
2) Добавляем в нужный .docker файл такую инструкцию:
RUN echo "СТРОКА ИЗ П1" >> /etc/passwd
3) docker-compose -d --build
4) Запускаем с параметром -uSOME_USER (или указываем конструкцию user: SOME_USER в docker-compose.yml, а лучше выносим имя пользователя в .env)