Максим

Вот так нельзя писать this.state.obj.push(this.state.input), для обновления стейта всегда нужно использовать setState({}) обязательно

А чтобы рендерить компоненты с помощью цикла, вам нужно дополнительно функцию написать примерно такую

createTaskBoard = () => {
    return this.state.obj.map((item) => <TaskBoard taskType = {item} />)
}

render () {
    return (
        <div className = 'adder'>
            // ... ваш код
            { this.createTaskBoard() }
        </div>
   )
}

Может быть стоит nextIdx тоже обновлять?

Что-то такое можно :)

const items = [
    { img: "https://pbs.twimg.com/profile_images/3117087049/697e0334a13361c6ab68ce00aefefa4f.jpeg" },
    { img: "http://vkclub.su/_data/gifts/134.jpg" },
    { img: "https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn%3AANd9GcTBIqdLHvhxu4LAxudRrH2OoJSctYh9pw3NyziKUwbpp77tsOvu" }
];



class App extends React.Component {
  state = {
    image: 1,
  }

  plus = () => {
  	const img = this.state.image;
    this.setState({
      image: (img + 1) % 3,
    });
  }
  
  minus = () => {
    const img = this.state.image;
    this.setState({
      image: (Math.abs(img - 1)) % 3,
    });
  }
  
  render() {
  const {image} = this.state;
    return (
      <div>
        <button onClick={this.minus}>Prev</button>
        <button onClick={this.plus}>Next</button>
        {this.state.image}
        <img src={items[image].img} />
      </div>
    );
  }
}

ReactDOM.render(<App />, document.getElementById('root'));