Александр Ф

Получилось следующим способом:

try (CloseableHttpResponse response = client.execute(httpPost)) {
            if (response.getStatusLine().getStatusCode() == HttpURLConnection.HTTP_OK) {
                String fileName = response
                        .getHeaders("Content-Disposition")[0]
                        .getElements()[0]
                        .getParameterByName("filename")
                        .getValue();
                InputStream fis = response.getEntity().getContent();
                Files.copy(fis, new File(fileName).toPath(), StandardCopyOption.REPLACE_EXISTING);
                IOUtils.closeQuietly(fis);
            }
}

Если есть предложения по улучшению кода, буду рад их увидеть.