Получилось следующим способом:
try (CloseableHttpResponse response = client.execute(httpPost)) {
if (response.getStatusLine().getStatusCode() == HttpURLConnection.HTTP_OK) {
String fileName = response
.getHeaders("Content-Disposition")[0]
.getElements()[0]
.getParameterByName("filename")
.getValue();
InputStream fis = response.getEntity().getContent();
Files.copy(fis, new File(fileName).toPath(), StandardCopyOption.REPLACE_EXISTING);
IOUtils.closeQuietly(fis);
}
}
Если есть предложения по улучшению кода, буду рад их увидеть.