FaxWeb

Вы правильно поняли, что у вас вершинами в гарфе являются клетка+направление, по которому пришли.
Но раз у вас вот это вершины, то вам и пометки о песещении вершины надо делать в трехмерном массиве. А начальных и финальных вершин у вас по 4 штуки: клетка x 4 направления (на самом деле, начинать достаточно только с 2 направлений, но неважно).

то в первом пункте мне не понятно как связаны индексы i и 2*i

Если нумерация массива идет с 1, то два ребенка элемента i будут 2*i и 2*i+1. У вас же нумерация с 0, т.ч. у вас дети - 2*i+1 и 2*i+2.

Первое условие достигается правильной расстановкой строгого и нестрогого неравнества в условиях в алгоритме.

Похоже, проблема в том, что у вас нумерация с 0 и, если новый элемент оказывается итак максимальным, вы вернете индекс 0, вместо нужного 1. Если вы элемент вниз просеиваете, то у вас там +1 стоит в res.first, но изначально у вас-то там 0.

Далее, вы вектор неправильно используете. Вы делаете reserve и потом работаете с пустым вектором, как-будто он фиксированного размера. Вам надо делать resize вместо reserve. Или еще лучше, вместо вашей переменной size вы используйте arr.size(). При изменении размера массива делайте pop_back() и push_back().