Виталий Литвинюк

При установке студии обычно появляется диалог, где можно выбрать языки, с которыми пользователь планирует работать в ней. Судя по всему, из за того, что студия ставилась "по тихому", и для юнити не нужны плюсы - эти опции просто не были выбраны. Можно скачать установочник коммьюнити версии, запустить восстановление и доставить плюсы, все шаблоны проектов появятся.

Есть несколько способов определения того, запросы каких типов обрабатывает конкретный метод. Один метод может обрабатывать запросы только одного типа (например только GET, или только POST). Лично я предпочитаю перед методом ставить специальный атрибут типа [HttpGet], что в паре с [Route("custom/url/for/method")] и понятным названием метода дает максимальную понятность кода контроллера. Кроме атрибутов, web api поддерживает еще naming convention метод определения того, запросы какого типа обрабатывает метод. Подробностей я не помню, надо читать доку. Ну а как в Вашем примере контроллер понимает, что логаут принимает только пост запросы - понятия не имею, за этим тоже надо в документацию лезть, там такие тонкие моменты подробно описаны.
Ну и вообще, не в обиду сказано, ответы на вопросы такого плана лучше сразу искать в документации.

У студии есть Browser link, что больше всего подходит под описание. Но я не уверен, что можно подключиться к любому локальному сайту, а не проекту, открытому в самой студии.