Nick

Попробовать открывать файл не напрямую с локальной машины, а поднять простенький static сервер (SimpleHTTPServer, node-static)

В react native нет div блока, вы не путаете с обычным реактом категорию вопроса?

Можно сделать eject проекта и собирать вручную. Не работает для ios, если нет устройства с mac os (или виртуалки)

порт 8081 свободен в системе?

Если открыть проект в android studio, то получается установить на виртуальное устройство?
Если получится, то в настройках откройте DevMenu и укажите ip и порт, где запущен packager. (как описано тут, пункт Connect via Wi-Fi )

В настройках genymotion прописан путь до Android SDK.

Этого мало, прописан ли путь к android sdk в переменной HOME/PATH? (в зависимости от вашей ОС)