D'

Вариантов на самом деле не много:

• Создать базовую модель BaseModel (унаследованную от Eloquent) и в ней переопределить метод where добавив сохранение $query. И от BaseModel унаследовать все модели которым нужен данный функционал.
  
• Тоже самое что выше, только сделать Repository и добавить в него тот же функционал.
  
• Тоже самое что выше, только создать отдельный trait
  

Непонятна связь между SearchQuery и Chapter/Section. Если есть отдельная таблица SearchQuery, то зачем делать поиск по Chapter/Section?
Так же непонятно когда нужно создавать новую запись, при каких условиях.

Сделать отдельный сервис, который будет рулить всеми поисковыми запросами, и соответсвенно отвечать за CRUD по $query.

С PHP.NET:

Связывает PHP переменную с именованным или неименованным параметром подготавливаемого SQL запроса. В отличие от PDOStatement::bindValue(), переменная привязывается по ссылке, и ее значение будет вычисляться во время вызова PDOStatement::execute().

Во втором случае в момент, когда происходит связывание переменная уже не существует. Попробуйте использовать bindValue.