Когда пользователь запускает бота, сохраняете все его данные в бд, в частности для отправки сообщения нас интересует его username и id чата. А потом, когда пользователь оставляет заявку на сайте со своим username, вы из бд берете id его чата и отправляете нужное сообщение, с помощью метода
https://core.telegram.org/bots/api#sendmessage