//в теле цикла
$linkPage = file_get_html($element->href);
// и лучше сделать рекурсивно - оформить парсинг страниц как функцию, принимающую html и кинуть этот контент в неё же
//а это для решения вашей задачи
file_put_contents(<хэш имени файла>, $linkPage);