добавлял его в стек navigationController
Вы должны убрать переход на другой контроллев на storyboard. В функции, которая вызывается по нажатию на кнопку вы все делаете правильно, создаете контроллер, передаете ему информацию и уже выбираете как его отображать.
Например, чтобы сделать push анимацию в navigation controller вы должны вызвать метод
[self.navigationController pushViewController:YourController animated:YES];
Чтобы показать новый контроллер в виде модального окна следует сделать следующий вызов
AuthorizationVC *authVC = [AuthorizationVC new];
// передаем необходимые данные контроллеру
//...
// Показываем его выезжающим снизу
[self presentViewController:[authVC rk_vcToNavController] animated:YES completion:nil];
Для того, чтобы его потом закрыть вызываете метод у показанного контроллера!
[self dismissViewControllerAnimated:YES completion:nil];
