Slick slider задаёт картинкам width 0, как исправить?

Это то тут причем вообще? Скрипт напрямую к картинкам прописываеи

Как сделать, чтобы слайдер можно было листать пальцем в мобильной версии?

Тебе нужно сохранять в переменной координаты "пальца" по оси X во время касания ( то есть touchstart ), потом при движении( touchmove ) вычеслять дельту( в движении тоже берешь координату пальца по x ). То есть delta = start - move; И каждый раз сохранять значение дельты при убирании пальца ( touchend ), end += delta. После в touchmove complete = end + delta;
Если непонятно обьяснил, то в этой статье более-менее описана схожая ситуация - ivan.rolik.name/2013/07/10/javascript-touchmove-ev...