Cognac

Спасибо за ответ и извините за путаницу с терминологией.
Вы пишете: не справиться. Не справиться совсем? Даже путем покупки сертификата у предыдущего удостоверяющего центра?
Там в заголовке был указан не один sha256, а несколько. Вероятно, это отпечатки сертификатов, которые стоят выше в цепочке. То есть сертификатов удостоверяющего центра. В таком случае, если эти сертификаты не менялись, ошибка пропадет, правильно?

Да, часть веб-интерфейса. Я поэтому и поставил phantomjs, чтобы из него на кнопку нажимать.
Я тоже подумал, что это единственный напрашивающийся вывод. Но какая разница простому веб-серверу? В любом случае я попробую, чтобы исключить этот момент. Спасибо за совет!
Только что пришла в голову идея: заходить firefox'ом из скрипта. Попробовал: "c:\Program Files (x86)\Mozilla Firefox Private\firefox.exe" http^://10.0.10.26/DeviceCommand^?param=0^&param2=reinit^&pwd=^&authorized=1^&config_path=^&createName=^&createParams=
Переинициализации тоже не происходит. Очевидно, дело не в клиенте. Похоже, нужен wireshark.