Alexander Popov

Developer Console нужна для того, чтобы управлять всеми данными проекта. Проэкт будет заходить не под вашим аккаунтом. Проекту выдадут свой Project ID и Project Secret Code (логин и пароль). При обращении к Google API потребуются эти данные. Это нужно для того, чтобы к API нельзя обращаться от имени другого проекта.

ContentProvider
CursorLoader

Я нашел ответ за 2 секунды
stackoverflow.com/questions/15563155/gson-to-json-...

new GsonBuilder().registerTypeAdapter(Date.class, new DateDeserializer());

private static final String[] DATE_FORMATS = new String[] {
        "MMM dd, yyyy HH:mm:ss",
        "MMM dd, yyyy"
};


private class DateDeserializer implements JsonDeserializer<Date> {

    @Override
    public Date deserialize(JsonElement jsonElement, Type typeOF,
            JsonDeserializationContext context) throws JsonParseException {
        for (String format : DATE_FORMATS) {
            try {
                return new SimpleDateFormat(format, Locale.US).parse(jsonElement.getAsString());
            } catch (ParseException e) {
            }
        }
        throw new JsonParseException("Unparseable date: \"" + jsonElement.getAsString()
                + "\". Supported formats: " + Arrays.toString(DATE_FORMATS));
    }
}

Если посмотреть через веб-дебагер в том же хроме на заголовки запроса и ответа, то сервер возвращает куки в Set-Cookie. А в запросе уходит через Cookie.
Следовательно:

Call<Profile> getCurrentUser(@Header("Cookie") String cookieA);

Dante Faustoff прав, срок жизни куки не нужен.

Достаточно только JSESSIONID(именно та куча символов)
max-age вроде как говорит о длительности жизни печенек на стороне сервера, ну а Expires по видимому это дата создания сессии.

Документация нам говорит так:
A request Header can be updated dynamically using the @Header annotation. A corresponding parameter must be provided to the @Header. If the value is null, the header will be omitted. Otherwise, toString will be called on the value, and the result used.

@GET("/user")
Call<User> getUser(@Header("Authorization") String authorization)

Вообщем берем случай, когда апи нет как такового, и надо залогиниться на сайт отправив запрос, как будто мы веб-клиент.
Подопытный kotomatrix.ru.

При парсинге запросов выяснилось, что авторизация происходит через отправку формы.
KotomatrixService.java

public interface KotomatrixService {
    @FormUrlEncoded
    @POST("http://kotomatrix.ru")
    Call<String> login(@Field("login") String login, @Field("password") String pass, @Field("act") String act, @Field("remember") String remember);
}

ApiFactory.java

public class ApiFactory {
    private static final int CONNECT_TIMEOUT = 15;
    private static final int WRITE_TIMEOUT = 60;
    private static final int TIMEOUT = 60;
    private static final OkHttpClient CLIENT = new OkHttpClient();

    static {
        CLIENT.setConnectTimeout(CONNECT_TIMEOUT, TimeUnit.SECONDS);
        CLIENT.setWriteTimeout(WRITE_TIMEOUT, TimeUnit.SECONDS);
        CLIENT.setReadTimeout(TIMEOUT, TimeUnit.SECONDS);
    }

    @NonNull
    public static KotomatrixService getKotomatrixService() {
        return getRetrofit().create(KotomatrixService.class);
    }

    @NonNull
    private static Retrofit getRetrofit() {
        return new Retrofit.Builder()
                .baseUrl("http://kotomatrix.ru")
                .addConverter(String.class, new StringConverter())
                .client(CLIENT)
                .build();
    }
}

StringConverter.java

public final class StringConverter implements Converter<String> {
    @Override
    public String fromBody(ResponseBody body) throws IOException {
        return body.string();
    }

    @Override
    public RequestBody toBody(String value) {
        return RequestBody.create(MediaType.parse("text/plain"), value);
    }
}

MainActivity.java

public class MainActivity extends AppCompatActivity implements Callback<String> {

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_main);
        KotomatrixService service = ApiFactory.getKotomatrixService();
        Call<String> call = service.login("testUser", "testUser", "login", "true");
        call.enqueue(MainActivity.this);
    }

    @Override
    public void onResponse(Response<String> response) {
        if (response.isSuccess()) {
            // ищем куку и сохраняем
        }
    }

    @Override
    public void onFailure(Throwable t) {
    }
}

В данном примере при успешной авторизации сервер отдаст kotomatrixCOOK, ищем значение тут response.rawResponse.headers и сохраняем в SharedPreferences.