Chelovekvekvek

Проблема в том, что код <...> не удаляет класс

Удаляет. А потом событие продолжает всплывать, и обработчик клика по .js-contacts-form добавляет класс обратно. Останавливайте всплытие в обработчике клика по .detail-work__close; или проверяйте перед добавлением класса, где был клик и не добавляйте класс, если... ну, думаю понятно.

Вы не можете обращаться к скрипту из html, если он не в теге script. Это во первых. Во вторых, для изменения value, надо писать element.value, а не innerHTML.

Рабочий пример - jsfiddle.net/Svupol/t2jhsody/28

1. Вы пытаетесь получить селектор field-name__clb, а в HTML коде у вас определен .field-name__clb
2. В коде отсутствует вызов функции fieldsName
3. document.querySelector выберет только первый элемент, который совпадает с определенной группой селекторов