сделайте активность бургера и меню отдельным классом, который будете менять. Вот в моем примере у кнопки бургера при активации добавляется класс is-active, и для меню добавляется класс active. Повторный клик по бургеру убирает эти классы
Используйте background-size: cover или background-size: contain в зависимости от задачи
Скролл не появляется потому что картинку задаете фоном, фон не участвует в размерах