Решил через AutoItX4Java:
private void mozProxyAuth(String login, String password) {
String JACOB_DLL_TO_USE = System.getProperty("sun.arch.data.model").contains("32") ? "jacob-1.18-x86.dll" : "jacob-1.18-x64.dll";
File file = new File(System.getProperty("user.dir"), JACOB_DLL_TO_USE);
System.setProperty(LibraryLoader.JACOB_DLL_PATH, file.getAbsolutePath());
AutoItX x = new AutoItX();
if (x.winWait("Требуется аутентификация", null, 10)) {
x.winActivate("Требуется аутентификация");
x.send(login + "{TAB}" + password + "{ENTER}", false);
}
}