Как правильно кастомизировать vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Auth/Notifications/VerifyEmail.php?

Здесь расписано подробно про кастомизацию.

Не понимаю, почему добавляется новый метод к классу User

Добавляя метод вы произведете перезапись (override) метода и в результате при отправке письма уже будет вызваться ваш метод, а в нем будет произведен вызов кастомного уведомления.

Как автоматически авторизоваться в phpmyadmin?

Может быть, вам другой ответ по той же ссылке подойдет?
You can simply post the username in a field named pma_username and the password in pma_password. Or, if you're using http auth mode you can create a link with username and password like http://user:[e-mail]/phpmyadmin/...
В вашем случае передавать конфиденциальные данные через get запрос небезопасно.

Как автоматически авторизоваться в phpmyadmin?

Попробуйте этот ответ. Заходить в phpMyAdmin будет автоматически. Вот такая ссылка у меня успешно отработала и сразу открыла запрашиваемую базу -

http://localhost/phpmyadmin/index.php?db=database_name

Почему выбивает 419 Page Expired?

На самом тостере неоднократно задавался этот вопрос. Вы все рекомендации попробовали из ответов?

Почему не работает триггер?

Я на тестовой базе добавил ваши таблички и триггер. Добавил запись в таблицу animals. При попытке добавить запись в таблицу LogBookManipulation выскачила ошибка 1241, погуглил, нашел решение, удалил скобки в триггере, сохранил его. Опять добавил запись в таблицу LogBookManipulation. Запись добавилась и появилась запись в таблице Plan. Удостоверившись, что у меня все работает, я написал вам ответ. Может быть, вы неправильно таблички заполняете?

Как получить ответ от функции DB в Laravel?

Перед запросом к базе данных используйте валидацию, где укажите, что поле с телефоном уникально. Тогда на этапе валидации будете получать ошибку. В миграции тоже укажите, что поле с телефоном уникально и тогда запрос к базе будет завершаться с ошибкой.

Как построить sql запрос?

URL последней странички будет вида

https://site.ru/admin/users/{user_id}/chats/{chat_id}

.
Последнее сообщение -

SELECT *
FROM `messages`
WHERE chat_id = $chat_id
ORDER BY date
LIMIT 1

Инфо человека, с которым ведешь беседу -

SELECT *
FROM `chat_users`
WHERE NOT user_id = $user_id
LEFT JOIN users
ON chat_users.user_id = users.id

Инфо о диалоге -

SELECT *
FROM `chat`
WHERE chat_id = $chat_id

Как видите, можно несколькими простыми запросами получить всю информацию.

Как построить sql запрос?

Мне кажется, вы просто все усложняете. К примеру, у вас админка. На одной страничке у вас список пользователей. Далее кликаете по интересующему пользователю и переходите на страничку со списком чатов пользователя. Выбираете один чат пользователя и переходите к страничке с сообщениями чата. Так же на последней страничке будет проще вывести тех, кто писал в чат. Простые запросы для каждой странички написать легче, чем один зубодробительный, какой вы хотите.