Brown2Fox

В ScriptsExecutionOrder выставляете самый высокий приоритет этому скрипту, а далее проверяете переменную IsStarted другим скриптом (скажем глобальным геймменеджером, который инициализирует всякие штуки для игры)

public class DelayedStart: MonoBehaviour
{

public int count = 5;
public static bool IsStarted = false;

void Awake()
{
    StartCoroutine(StartCounting());
}

private IEnumerator StartCounting()
{
    for (int i = count; i > 0; i--)
    {
         yield return new WaitForSeconds(1f);
         Debug.LogFormat("Time Left: {0} s", i);
    }
    IsStarted = true;
}
}