Bright

Если сайт крутится на какой-нибудь CMS'ке — поищите плагин для автоматического бэкапа. Например, для Wordpress есть плагин, который может по расписанию делать бэкапы БД и слать их на почту.

И, как уже сказали выше, возможность делать бэкапы должна быть в панели управления хостингом (в DirectAdmin точно есть).

На хабре когда-то пиарился «Конфитюр». Но вот цены у них выше ваших — 5$ за 50 Гб и 20$ за 200.