Нашел интересное решение своей проблемы. Спешу поделиться мини-туториалом.

1. Открываем файл [имя модели].Context.cs и находим там следующий код:

public partial class MainDataModel : DbContext
{
    public MainDataModel()
        : base("name=MainDataModel")
    {
    }
...

2. После основного конструктора добавляем свой:

public MainDataModel(string databaseName)
{
    Database.Connection.ConnectionString = @"Data Source=MySQLServer;Initial Catalog=" + databaseName + ";Integrated Security=True"; 
}

3. Теперь можно создавать контексты в таком виде:

using (var context = new MainDataModel("MyFirstDatabase"))
{
  ...
}

using (var context = new MainDataModel("MySecondDatabase"))
{
  ...
}

Надо сказать, что это решение попахивает каким-то грязным хаком и надругательством над EF, но других вариантов я пока не нашел.

UPD:
Любое изменение модели приведет к перезаписи файла [имя модели].Context.cs, поэтому лучше вынести это все в код формы или во вспомогательный класс.