Здравствуйте. У вас в коде две проблемы.
Тактическая: Ваш PHP-скрипт ожидает данные в $_POST, но JavaScript отправляет JSON. $_POST в вашем случае пустой.
Стратегическая: Даже если вы исправите код, письма, отправленные через wp_mail() с обычного хостинга, почти всегда попадают в спам или блокируются из-за отсутствия правильных DNS-записей (SPF, DKIM).
Я написал подробную инструкцию, которая решает обе проблемы: и как правильно принять JSON в PHP, и, что самое главное, как настроить надежную отправку почты через внешний SMTP-сервис, чтобы письма всегда доходили.
Полное решение здесь:
https://gist.github.com/Tazoranov/19f4be5be8ea3575... 