Нормальных способов получения такого опыта нет, но, как человек который собеседует (в том числе и джуниоров), могу сказать что этот опыт не особенно и нужен.
И всё таки, варианты примерно следующие:
1) Биржи тестирования (utest и иже с ними).
По факту, больше времени вы потратите на то, что бы выбить себе задачи среди конкурентов, но какой-никакой опыт там можно получить.
2) Стажировки в крупных компаниях. Тоже не самый крутой способ, т.к. скорее всего особого опыта вы не получите, просто будете пару месяцев решать рутинные задачи, от которых тщательно увиливают люди в штате компании.
3) Проектная\почасовая работа на удаленке (напр. предложенные в комментах вакансии ассессоров в яндексе). Примерно то же самое, что п.2, но за символические деньги.
По факту, всё это не особо нужно.
Люди, которые готовы брать на работу начинающего специалиста не ждут в его резюме какого-то полезного опыта.
Им нужно, в первую очередь, видеть общую адекватность, интерес и способность учиться и развиваться без пинков.
Всему остальному они готовы вас учить. Иначе бы они не смотрели в сторону джуниор специалистов.
- Пройдите курсы по тестированию и минимальные курсы по программированию (codeacademy + пайтон, например).
- Почитайте пару книжек про тестирование, процесс разработки ПО, общий computer science.
- Почитайте статьи по особенностям тестирования на разных платформах (напр. мобильных)
- Напишите несколько пробных автотестов на UI и API, выложите их на github.
- Возьмите несколько типичных бизнес-кейсов в любом известном приложении, напишите для них тестовую документацию. Можно так же выложить это всё на гитхаб.
- Попрактикуйтесь в стандартных SQL запросах и работе с командной строкой.
Приложите это всё в резюме, опишите чему научились и чего вы хотите.
И ходите по собеседованиям.