BRT_KaiserxPyro

Посмотрите в сторону https://github.com/centrifugal/centrifugo

современное решение - websocket (позволяет серверу слать сообщения веб-клиентам)

поддерживается всеми браузерами, есть огромное количество реализаций сервера, в т.ч. на php (рекомендую reactphp асинхронный, на нем же и сам http бакэнд делать нормально, а nginx снаружи проксирует запросы)

уведомления в реальном времени

Тут, скорее всего, подойдут сокеты.

администратор мог добавлять новые сообщения

Нужно как-то разделять обычного юзера и админа. Например, добавить в таблицу юзеров в БД булево поле is_admin, и в коде проверять значение.
Это первые пришедшие в голову варианты, но далеко не единственные. В зависимости от текущей реализации, они могут отличаться.