Георгий

value как раз содержит то, что было введено в input (или значение по умолчанию, если ничего не было введено).
Раз уж всё равно используется jQuery, можно для получения значения использовать его:

<input type="text" id="usname" value="default username" />
<script>
$(".b-mail-footer__btn").click(function() {	
  var username=$("#usname").val();
  alert(username);
});
</script>

Самое простое - запрашивать обновление с сервера яваскриптом через аякс с какой-либо периодичностью (да хоть раз в секунду).
Если обновления обязательно нужно получать по мере их появления, можно использовать SSE или WebSockets, но тут уже всё немного сложнее.
Есть презентация на английском, в которой как раз описаны все способы и даны примеры серверного кода для Flask.