Abdula Magomedov

$nameBook = Book::find()->select(['id', 'name' => 'LEFT(name, 1)'])->asArray()->all();

или

$nameBook = ArrayHelper::getColumn($nameBook, function($row){
    getFirstLetter($row['name']);
});

actionUpdate($id){}

требует параметр id, который скорее всего не передается на сервер

Я использую обычное js событие submit. Все нормально работает.

Совет на заметку: Использовать для отправки формы не сериализированную строку, а объект FormData.
Тут подробнее: https://learn.javascript.ru/xhr-forms

1. Если указанное свойство не перечислено в правилах или в поведении.

Js библиотеки дублируются, но это не вызывает же конфликт. У меня целая система так построена. И ничего, работает.

Обходитесь без pjax. Используйте функцию $.ajax() от jQuery. И загружайте ответ в нужный вам элемент.

$.ajax({
  url: "some.php",
  success: function(data){
    $("селектор").html(data);
  }
});