Athanor

Не совсем ясна суть проблемы, но предположу, что дело в отсутствии свойства border-collapse
попробуйте так, если не поможет, собирайте песочницу и кидайте в комменты, будем разбираться.

ваш таймер работает через рекурсивный setTimeout. Каждую секунду вызывается функция updateExamTimer, которая в конце выполнения планирует отложенный вызов себя же через 1 секунду.

Особенность функции setTimeout заключается в том, что при вызове она возвращает timerId, который если успеть передать в clearTimeout, то таймер(на выполнение функции updateExamTimer) отменится.

Следовательно, вам нужно изменить код так, чтоб при отключении интернета вызывался clearTimeout и в него передавался timerId, который вам нужно куда-то сохранять каждый раз при вызове setTimeout
После включения интернета, вам потребуется снова вызвать setTimeout('updateExamTimer()', 1000);, чтоб запустить таймер

Подробней

НО так же у вас фигурирует загадочная переменная EXAM_TIME_LEFT, которая неизвестно откуда берется. Если это константа и она просто объявлена выше по коду, описанный мной вариант, скорее всего, будет работать, если она прилетает с сервера(и при обновлении страницы она меняется), то ничего работать не будет и отключать таймер придется на сервере в том числе.

Обратите внимание на блок #main после применения скрипта, для него применяются стили:

.scroll-container, .scroll-container section, body, html {
    width: 100%;
    height: 100%;
}

Собственно, эти проценты берутся от родителя, если родителем выступает body, то все ок, т.к. для него применяются те же самые стили, в вашем же случае родителем выступает дополнительный блок, который этих стилей не имеет и по умолчанию не растягивается. Чтоб это исправить, достаточно прописать эти стили для этого блока так

На самом деле, без кода сложно что-то сказать, но судя по этим строкам:

либо мышкой нажать на другой участок сайта, тогда идет поиск

Видимо поиск у вас срабатывает по событию 'blur' для вашего инпута.
Здесь есть пример.
Все что вам нужно — после выбора значения в поле найти ваш input и от него вызвать метод `blur`.

Это быстрое решение и в архитектурном плане, конечно, лучше так не делать, т.к. это получится довольно не очевидно. Лучшим вариантом было бы удалить вызов поиска на enter и blur и сделать поиск на выбор в автокомплите.