ArtGenSky

Для этого все слайды должны быть одинаковой высоты, этого можно добиться, если родительский контейнер у слайдов будет flex (по умолчанию к flex применяется стилевое правило align-content: stretch, которое и растягивает дочерние элементы по высоте, если flex горизонтальный).

Внутри слайдов внутреннему врапперу .header__slider-item добавить height: 100%, чтобы он занял всю высоту родительского слайда. У этого враппера вертикальный flex, потому кнопке можно задать margin-top: auto

.owl-carousel .owl-stage {
    position: relative;
    -ms-touch-action: pan-Y;
    -moz-backface-visibility: hidden;
    display: flex;
}
.header__slider-item {
    display: flex;
    flex-direction: column;
    height: 100%;
}
.header__slider-text {
    font-family: Lato;
    font-size: 1.4rem;
    margin-bottom: 20px;
}
.header__slider-btn {
    padding: 21px 33px;
    color: #444444;
    font-family: Montserrat;
    font-size: 1.6rem;
    text-transform: uppercase;
    font-weight: 400;
    border: 1px solid #444444;
    margin: auto auto 0 0;
    transition: 0.2s;
}