Можно так, через
options={"default"="now()"}
/**
* @ORM\Column(name="date", type="datetime_immutable", nullable=false, options={"default"="now()"})
*/
private \DateTimeImmutable $date;
Точно работает с now(), более сложного не проверял, но я не вижу причин почему не должно сработать. Правда не факт, кто доктрина сможет правильно сгенерировать миграцию, возможно руками придётся править в миграции.