Andrey_Dolg

Создайте бота и сделайте его админом в канале.
Api телеграма позволяет при наличии ключа от бота и id канала возможность что бы он туда отправил пост. По факту вы просто посылаете get запросы с правильными параметрами на их api. Из php кода такое вполне легко достигнуть. Либо поищите по плагинам для Laravel уверен что такой функционал писался и не раз. К остальным нюансам реализации смотрите доку их api относительно неплохо написано.

Больше похоже на бесплатный прокси который работает через раз, а не на блокировку. Купите хорошие прокси.
Интересно а этого бота для задачи вопросов сюда тоже кто-то написал.

Не совсем вас понял. Вроде как кнопки делают холд на время обработки сами.
Но если нет, в теории в message находится свойство id вы можете глобально(через базу или ещё как) думаю хорошая работа для redis или sqlite in memory держать те id что находятся в обработке и высвобождать их, только после завершения отправки ответа как следствие условие на входе обработчика.

if message_id not in processing_ids:
    ...

Upd
Ах да для полноты картины так же желательно проверять юзера поле from_user вроде.