Здравствуйте!
Дать вам конкретный ответ не получиться, ибо вы не предоставили никакого исходного кода.
Чтобы решить вашу задачу следуйте следующим принципам:
1) разберитесь как именно выводится эта кнопка. Если это выводится средствами ВП, то является ли этот функционал частью плагина или самой темы. Также может быть, что кнопка поиска управляться неким фреймворком для настройки темы или выводится в виде виджета. Зная, с чем вы работаете, станет ясно, как его переместить или отредактировать.
2) Переместить при помощи css иконку из одного блока в другой и при этом не изменить структуру верстки не получится. Разве что не задать этой иконке position absolute и не позиционировать ее под разные размеры экранов. Решение, так себе...
3) Можно чтобы глубоко в рнр не лезть, сделать следующее...
взять другую иконку, добавить в нужное вам место, посмотреть триггеры запуска поиска на уровне js и добавить их к новой иконке, а текущую иконку скрыть визуально через display none. Вариант также рабочий.
В общем, все индивидуально... надо разбираться
