AlexeyVD

DELETE t
  FROM table1 t
  JOIN (SELECT MIN(date) AS min_date
             FROM (SELECT date
                           FROM table1 
                           WHERE user = n
                           ORDER BY date DESC 
                           LIMIT 6) t1
        ) sel ON t.date < sel.min_date
  WHERE sel.user = n;

По-хорошему, если данные в таблицах на сервере не должны дублироваться, то логично было бы создать там уникальные ключи по нужным полям, и тогда никакие дубликаты бы уже туда не попадали.
Соответственно, если нужно избежать ошибок при вставке дублирующихся данных, то нужно поправить API и использовать там INSERT IGNORE либо INSERT… ON DUPLICATE KEY UPDATE… в зависимости от того, что вам нужно.