Я частично разобрался. Добавил в файле App.vue в хуке mounted запись this.$router.push('/'). Сайт стал загружаться корректно.
Не знаю, Александр, это ли Вы имели в виду, но вторая часть проблемы по прежнему сохраняется: после перезагрузки страницы возникает ошибка 404.
Подскажите, пожалуйста, как это устранить?