Если почта от хостера не поддерживает IMAP Вам надо мигрировать с хостинговой почты на Google Apps — https://www.google.com/a/cpanel/premier/new?hl=ru
Затем отправить все Отправленные письма с The Bat в ящик gmail, отсортировать там по Отправителю и перекинуть почту в Отправленные
Либо перекинуть почту из The Bat в MS Outlook и воспользоваться утилитой для переноса от Google —
tools.google.com/dlpage/outlookmigration 