Интересно, что такой способ сработал без всякой авторизации
$paramsArray = array(
'fields' => array (
'name_1' => $_POST['your-name'],
'85563_1' => array ('124303' => $_POST['phone']),
'85565_1' => array ('124315' => $_POST['your-email']),
'note_2' => "Здравствуйте!\nПрошу связаться со мной",
),
'form_id' => '589981',
'hash' => 'b8530f938b295b34c1f511685bc3a57c'
);
$vars = http_build_query($paramsArray);
$options = array(
'http' => array(
'method' => 'POST',
'header' => 'Content-type: application/x-www-form-urlencoded',
'content' => $vars
)
);
$context = stream_context_create($options);
$result = file_get_contents('https://forms.amocrm.ru/queue/add', false, $context);