$output = file_get_contents('your_file.txt', FALSE, NULL, $begin, $end);
где $begin - начало куска файла, $end - конец куска файла. $output - кусок файла, который вы сможете использовать.
А на кнопку повесить аякс, который и будет обращаться к функции, которая будет возвращать кусок файла, который будет добавляться к уже выведенному.