select совсем плохо стилизуется, его стиль задается устройством или браузером.
Можно его заменить на текстовый input + ul-li для значений, js-ом подставлять значение, скрывать, показывать список.
Можно использовать готовую библиотеку типа jquery-ui или что-то подобное
Все работает https://jsfiddle.net/4mobile/u7w20xvh/
Вопрос в другом, зачем подгружать отдельно кнопки если их можно сразу загрузить и показывать по необходимости?
Разницы не вижу.
Если верстка с 0, с макетами для мобильных и десктопов, верстаю mobile first.
Если готовый десктоп-сайт и нужно добавить "мобильности", не переверстываю, добавляю, получается desktop first.