Почему не удается совершить звонок в 2 стороны с Cisco spa303 (3-way call)?

Очень может быть, что кнопки и нет.
Совершенно точно у всех ex-Linksys есть специальные URI, с помощью которых можно перезагрузить аппарат или шлиз или же заставить его обновить прошивку или конфигурацию. Вот собственно эти URI:

/admin/reboot - перезагружает устройство
/admin/resync?conf_url (см. ниже) - обновляет конфигурацию, скачивая её с conf_url
/admin/upgrade?fw_url (см. ниже) - обновляет прошивку, скачивая её с fw_url

Теперь о conf_url и ац_url. Обе имеют вид proto://server[:port]/путь_на_сервере, где proto может быть tftp, http или https, port можно не указывать если он стандартный (69 для TFTP, 80 для HTTP и 443 для HTTPS), а путь_на_сервере - это уже путь к соответствующему файлу (конфигурации или прошивки) в рамках сервера.

Как выгружать конфигурацию не помню, возможно этого сделать и нельзя.

Почему не удается совершить звонок в 2 стороны с Cisco spa303 (3-way call)?

С TFTP точно умеет (сам лично настраивал на АТС загрузку), но насколько я помню у него есть и ручная выгрузка/загрузка конфигурации в файл. Аппарата под руками нет, так что в каком месте конфигурации это расположено не помню. По факту, если не ошибаюсь, то конфигурация - это XML файл, либо сжатый XML-файл.

Почему не удается совершить звонок в 2 стороны с Cisco spa303 (3-way call)?

А не пробовали сбросить "неудачный" телефон и скопировать на него конфигурацию с "удачного" и сменить номер (аккаунт на АТС)?

Методов отладки большиства телефонов (не только cisco) всего два:
1. Мониторить трафик, проходящий между телефонами и АТС. Проще всего это делается с самой АТС, а в случае Asterisk можно вообще включить режим отладки в SIP для конкретного пира.
2. Включить на телефоне режим отправки отладки на сервер syslog, на сервере syslog соответственно включить приём данных из-вне и смотреть что там телефон в отладку отправляет.