Обращайтесь из скрипта сразу к
plasma-lab.com/public/controls/turingImage.ashx сервер отдаст вам капчу и сохранит ее за вашей сессией, поэтому куки тоже сохраняйте. Отправляете картинку в антикапчу, получаете ответ. И посылаете нужный запрос с сохраненными куками и расшифрованной капчей, будь то авторизация или какое то действией, что вам там необходимо.