Как узнать какая функция была вызвана в браузере?

Например, так:

document.querySelector('.more_link').onclick=function(){}

Как переменную из коллбека сделать доступной вне асинхронной функции?

"Не работает" - это как? Ошибки есть? Судя по тому, что вы не глядя скопировали мой код - должны быть, я там случайно имя функции в объявлении неправильно написал - "vefiry" вместо "verify" (уже исправлено), а при вызове - правильно.

Как переменную из коллбека сделать доступной вне асинхронной функции?

Применимы. Как-то так, например:

function verify() {
    return new Promise(function(resolve, reject) {
        jwt.verify(token, process.env.SECRET, function(err, decoded) {
            resolve(decoded) // или reject - это уж вам виднее
            if (err) {
                res.status(401).send({
                    message: 'Unable to verify email. Probably, your token is expired.'
                })
                return
            }
        })
    })
}

verify().then(function(decoded) {
     // обрабатываем decoded
})

Как переменную из коллбека сделать доступной вне асинхронной функции?

Если вы хотите decoded сразу после вызова jwt.verify, то ничего не получится. Потому что его в этот момент просто нет.

Как переменную из коллбека сделать доступной вне асинхронной функции?

jeruthadam: Сразу после вызова jwt.verify? Ну так это естественно - он же асинхронный, по вашим же словам. После выполнения коллбека будет не undefined.

Как достать следующий элемент массива?

Что функция является генератором.

Подробнее о генераторах.