Начнём с того, что вы не должны лезть внутрь компонента-ребёнка из компонента-родителя. Никогда. Компонент-ребёнок - это чёрный ящик. Вы не знаете есть ли в нём вообще firstChild и что там у него со scrollHeight. Не знаете, говорю, даже если сами тот компонент написали. Это основа компонентного подхода: содержимое любого компонента может быть полностью переписано без влияния на зависимые от него родительские компоненты. Любое управление осуществляется через props, события (и, в особых случаях, докуметированные публичные методы и свойства, получаемые через ref).
В данном случае вам нужно для ребёнка сделать компонент-обёртку(или поправить его самого), либо добавив свойство вроде set-height-by-child, которое и будет управлять данным поведением, либо, если нужна работа с этой высотой снаружи, посылать из него событие вроде @emit('scroll-height-changed', scrollHeight) при mounted, при изменении размера экрана и прочих возможных случаях.
Средний
