Приватный пакет можно подключить указав конкретный репозиторий. Возможно есть способ настроить, чтобы GitHub был вторым местом где composer будет искать пакет, который не смог найти у себя?
"repositories": [ { "type": "composer", "url": "https://github.com/" } ],
Чтобы не перечислять каждый по отдельности. Их много и они все на GitHub