Если дёшево и сердито:
tsc --watch
, но адекватный вариант - юзать системы с live reload'ом, например одну из предложенных
Алексей Ярков.
Подключать надо всё равно js, компилировать на лету в браузере - безумие и бессмыслица, т.к. ты не сможешь следить за изменениями и должен будешь каждый раз в ручную перегружать страницу и каждый раз перекомпилировать весь код целиком, а не дельту как при нормальном способе.