Здравствуйте!
Если нет готового API для работы с сервисом, то можно сделать следующее:
1) Изучить их веб-сайт. Может быть у них есть свой внутренний API, по которому фронт работает с бекендом (т.е. некий фреймворк взаимодействует с админкой через REST API). Изучаем вкладку "Сеть" браузера и смотрим что он отправляет при запросе и что получает. Далее пытаемся это симулировать.
Отправляем запрос на сервер и парсим полученный ответ.
Можно поработать с неким парсером. Что-то наподобие jsoup на java. Когда при помощи okhttp или любым другим способом отправляете запрос на сервер (посмотрите как они отправляют запрос на их сервер). Далее полученный ответ парсите и вставляете в свой DOM.
2) Как вам и подсказали - selenium. На серверной стороне установите selenium + драйвер браузера и сам браузер. Например, selenium + geckodriver + firefox. Далее в браузере (в режиме headless) открываете урл, куда передаете значение введенное пользователем. Далее полученный html парсите тем же selenium'ом или jsoup или еще чем-то и отдаете в ВП сайт.
В общем, надо смотреть что за сервис, какая защита у них, есть ли honeypot, нужна ли авторизация для отправки запроса и получения результата, выдается ли результат динамически (средствами js - ajax), есть ли рекапча и нужно ли ее обходить подключив доп. сервис и т.д.
Если столкнетесь с рекапчей, то самый дешевый сервис, который встречал -
https://anti-captcha.com/
Подключаете и работаете с API этого сервиса.