Разобрался сам!
Из дочернего компонента нужно отправить событие в родительский компонент, при этом само событие можно назвать как угодно, например "delete-item":
<div @click.right="$emit('delete-item')" ...>
А на родительском компоненте нужно на данное событие повесить функцию-обработчик (назвать её например deleteItem()):
<tree-item @delete-item="deleteItem(index)" ...>
, в которую передавать индекс (из for) удаляемого элемента, или можно использовать другой способ - вызвать код на месте так:
<tree-item @delete-item="item.children.splice(index, 1)" ...>