dotnet watch run
Попробуйте эту команду для запуска net сборки
Само клиентское приложение рекомендую запускать встроенным вебсервером
npm run watch
Это команда из темплайта vue
На что я люблю студию, но тут они слишком много наворотили и не совсем удобно.
Первая команда смотрит за исходниками дотнета
вторая пересобирает клиентское приложение.