<p><input type="checkbox" name="list"> кто-нибудь</p>
<p><input type="checkbox" name="list"> еще кто-нибудь</p>
$name = $_POST['name'];
$list = $_POST['list'];
$query = "INSERT INTO `conversatons` VALUES ('$name', '$list'); ";
<p><input type="checkbox" name="list[]" value="кто-нибудь"> кто-нибудь</p>
<p><input type="checkbox" name="list[]" value="еще кто-нибудь"> еще кто-нибудь</p>
$name = $_POST['name'];
$list = implode(",", $_POST['list']);
$query = "INSERT INTO `conversatons` VALUES ('$name', '$list'); ";