Этот компонент - всего лишь обёртка над собственно swiper'ом. Который для создания бесконечной прокрутки делает копии слайдов (последнего, предпоследнего и т.д. перед первым; первого, второго и т.д. после последнего). При копировании элемента обработчики событий не копируются (кроме инлайновых, но, очевидно, тут другой случай). Отсюда "клик не срабатывает" - когда вы кликаете по клонированному слайду.
Делегируйте обработку событий. Обработчик клика будет один, и прицеплен к корневому элементу слайдера:
<swiper @click="onClick"
methods: {
onClick(e) {
const slide = e.target.closest('.swiper-slide');
if (slide) {
console.log(`slide ${slide.dataset.swiperSlideIndex} clicked`);
}
},