MySQL считывает вашу дату как %Y-%m-%d, поэтому и считает что год - 10, а дата - 20.
Чтобы распарсить то что у вас есть в дату, вам нужен не DATE_FORMAT, а STR_TO_DATE:
STR_TO_DATE('10.12.2010', '%d.%m.%Y')
Ну и если вы хотите обратно в строку в нужном вам формате, то тогда уже DATE_FORMAT:
DATE_FORMAT(STR_TO_DATE('10.12.2010', '%d.%m.%Y'), '%Y-%m-%d')